Lineare Algebra Beispiele

$[\begin{array}{c} 34 & 64 \\ 7 & 13 \end{array}]$

Schritt 1

The inverse of a $2 \times 2$ matrix can be found using the formula $\frac{1}{a d - b c} [\begin{array}{c} d & - b \\ - c & a \end{array}]$ where $a d - b c$ is the determinant.

Schritt 2

Find the determinant.

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Schritt 2.1

Die Determinante einer $2 \times 2$ -Matrix kann mithilfe der Formel $| \begin{array}{c} a & b \\ c & d \end{array} | = a d - c b$ bestimmt werden.

$34 \cdot 13 - 7 \cdot 64$

Schritt 2.2

Vereinfache die Determinante.

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Schritt 2.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.1.1

Mutltipliziere $34$ mit $13$ .

$442 - 7 \cdot 64$

Schritt 2.2.1.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $64$ .

$442 - 448$

Schritt 2.2.2

Subtrahiere $448$ von $442$ .

$- 6$

Schritt 3

Since the determinant is non-zero, the inverse exists.

Schritt 4

Substitute the known values into the formula for the inverse.

$\frac{1}{- 6} [\begin{array}{c} 13 & - 64 \\ - 7 & 34 \end{array}]$

Schritt 5

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{1}{6} [\begin{array}{c} 13 & - 64 \\ - 7 & 34 \end{array}]$

Schritt 6

Multipliziere $- \frac{1}{6}$ mit jedem Element der Matrix.

$[\begin{array}{c} - \frac{1}{6} \cdot 13 & - \frac{1}{6} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Schritt 7

Vereinfache jedes Element der Matrix.

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Schritt 7.1

Multipliziere $- \frac{1}{6} \cdot 13$ .

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Schritt 7.1.1

Mutltipliziere $13$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - 13 (\frac{1}{6}) & - \frac{1}{6} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Schritt 7.1.2

Kombiniere $- 13$ und $\frac{1}{6}$ .

$[\begin{array}{c} \frac{- 13}{6} & - \frac{1}{6} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Schritt 7.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & - \frac{1}{6} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Schritt 7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{6}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- 1}{6} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Schritt 7.3.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- 1}{2 (3)} \cdot - 64 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Schritt 7.3.3

Faktorisiere $2$ aus $- 64$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32) \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Schritt 7.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot - 32) \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Schritt 7.3.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- 1}{3} \cdot - 32 \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Schritt 7.4

Kombiniere $\frac{- 1}{3}$ und $- 32$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{- - 32}{3} \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Schritt 7.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 32$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ - \frac{1}{6} \cdot - 7 & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Schritt 7.6

Multipliziere $- \frac{1}{6} \cdot - 7$ .

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Schritt 7.6.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $- 1$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ 7 (\frac{1}{6}) & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Schritt 7.6.2

Kombiniere $7$ und $\frac{1}{6}$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & - \frac{1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Schritt 7.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 7.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{6}$ in den Zähler.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1}{6} \cdot 34 \end{array}]$

Schritt 7.7.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1}{2 (3)} \cdot 34 \end{array}]$

Schritt 7.7.3

Faktorisiere $2$ aus $34$ heraus.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 17) \end{array}]$

Schritt 7.7.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1}{2 \cdot 3} \cdot (2 \cdot 17) \end{array}]$

Schritt 7.7.5

Forme den Ausdruck um.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1}{3} \cdot 17 \end{array}]$

Schritt 7.8

Kombiniere $\frac{- 1}{3}$ und $17$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 1 \cdot 17}{3} \end{array}]$

Schritt 7.9

Mutltipliziere $- 1$ mit $17$ .

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & \frac{- 17}{3} \end{array}]$

Schritt 7.10

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$[\begin{array}{c} - \frac{13}{6} & \frac{32}{3} \\ \frac{7}{6} & - \frac{17}{3} \end{array}]$